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简介排列与组合符号说明公式公式推导参考资料
简介
排列和组合是概率与组合数学中的基本概念。排列关注的是从集合中选取一定数量的元素，并考虑它们的顺序，而组合则强调元素的选择，而不考虑顺序。这两个概念在解决问题中有广泛的应用，如在统计学、概率论、密码学等领域。总的来说，排列和组合为我们提供了一种方式，通过数学的手段来计算和理解从集合中选择元素的不同方式。🏃
排列与组合
排列是指从一个集合中选择一些元素，按照一定的顺序进行排列。如果我们有一个集合
S
S
S，包含
n
n
n个元素，那么从中选择
k
k
k个元素进行排列的方式数（不放回，不考虑重复）用
P
(
n
,
k
)
P(n,k)
P(n,k)、
P
k
n
P_{k}^{n}
Pkn或者
A
n
k
A_{n}^{k}
Ank表示，计算公式为：
P
(
n
,
k
)
=
n
!
(
n
−
k
)
!
P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}
P(n,k)=(n−k)!n! 其中
n
!
n!
n!表示
n
n
n的阶乘，即
n
!
=
n
×
(
n
−
1
)
×
(
n
−
2
)
×
…
×
2
×
1
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1
n!=n×(n−1)×(n−2)×…×2×1。 🙋【注意：
0
!
=
1
0!=1
0!=1】
组合是指从一个集合中选择一些元素，不考虑其顺序。如果我们有一个集合
S
S
S，包含
n
n
n个元素，那么从中选择
k
k
k个元素进行组合的方式数用
C
(
n
,
k
)
C(n,k)
C(n,k)或者
C
k
n
C_{k}^{n}
Ckn表示，计算公式为：
C
(
n
,
k
)
=
n
!
r
!
×
(
n
−
k
)
!
C(n, k) = \frac{n!}{r! \times (n-k)!}
C(n,k)=r!×(n−k)!n!
符号说明
排列：
A
{\rm A}
A（Arrangement）或
P
{\rm P}
P（Permutation）。国内虽然采用了新的符号A（估计是想和概率论中的概率P区分开），但国际上仍然使用P。
组合：
C
{\rm C}
C（Combination）表示有选择（choose）的意思。国内、国际均采用符号C！ 🙋【注意：这里博主使用国际通用表示方式。】
从n个元素中选取k个不同元素的组合数：
P
k
n
{\rm P}^{n}_{k}
Pkn
从n个元素中选取k个不同元素的排列数：
C
k
n
{\rm C}^{n}_{k}
Ckn 🙋【注意：国内排列数和组合数上下标位置一般与此处的相反，即
A
n
k
{\rm A}^{k}_{n}
Ank、
C
n
k
{\rm C}^{k}_{n}
Cnk】
公式
P
k
n
=
n
!
n
−
k
!
{\rm P}^{n}_{k}=\frac{n!}{n-k!}
Pkn=n−k!n!
C
k
n
=
n
!
(
n
−
k
)
!
k
!
{\rm C}^{n}_{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}
Ckn=(n−k)!k!n!
公式推导
∵
A
k
n
=
C
k
n
A
k
k
∴
C
k
n
=
A
k
n
A
k
k
=
n
!
n
−
k
!
k
!
(
k
−
k
)
!
=
n
!
0
!
(
n
−
k
)
!
k
!
=
n
!
(
n
−
k
)
!
k
!
\because{\rm A}^{n}_{k}={\rm C}^{n}_{k}{\rm A}^{k}_{k} \\ \therefore{\rm C}^{n}_{k}=\frac{{\rm A}^{n}_{k}}{{\rm A}^{k}_{k}}=\frac{\frac{n!}{n-k!}}{\frac{k!}{(k-k)!}}=\frac{n!0!}{(n-k)!k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}
∵Akn=CknAkk∴Ckn=AkkAkn=(k−k)!k!n−k!n!=(n−k)!k!n!0!=(n−k)!k!n!
参考资料
维基百科：排列维基百科：组合百度百科：排列组合
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