贡献者： 叶月2_; DTSIo; JierPeter
预备知识 1 内积，切丛，余切丛（未完成），张量场
本节采用爱因斯坦求和约定。
黎曼度量（Riemannian metric）或伪黎曼度量（pseudo-Riemannian metric）是黎曼几何或伪黎曼几何所要求的基本结构。赋予黎曼度量/伪黎曼度量的微分流形被称为黎曼流形/伪黎曼流形，它们既是几何学研究的对象，也是广义相对论得以展开的舞台。
这里将一直设 $M$ 是一个 $n$ 维实微分流形。
使用其它表述的黎曼度量另见黎曼联络的子节 1 。
1. 黎曼度量
定义 1 黎曼度量1
$M$ 上的一个黎曼度量 $g$ 是指丛 $T^*(M)\otimes T^*(M)$ 的一个对称的正定截面。等价地，给出黎曼度量 $g$，就相当于在每一点 $p$ 的切空间 $T_pM$ 上指定一个内积 $g_p$。指定了黎曼度量的微分流形称为黎曼流形。有时也会把黎曼度量记为 $\langle\cdot,\cdot\rangle_p$.
给定局部坐标系 $\{x^i\}$ 后，黎曼度量 $g$ 的局部表达式是
$$
g_{ij}(x)dx^i\otimes dx^j~,
$$
这里 $g_{ij}(x)=g_{ji}(x)$，而且对于任何向量 $(X^i)_{i=1}^n\neq0$ 都有
$$
g_{ij}X^iX^j>0~.
$$
有了黎曼度量，就可以谈论诸如长度/面积/体积之类的度量性质了。例如，设 $\gamma:[a,b]\to M$ 是黎曼流形 $(M,g)$ 上的一条道路，则定义其长度为
$$
L[\gamma]:=\int_{a}^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t),\gamma'(t))}dt~.
$$
如果用局部坐标系给出曲线的局部参数方程 $x(t)=(x^i(t))_{i=1}^n$，则
$$
L[\gamma]:=\int_{a}^b \sqrt{g_{ij}(x(t))(\dot x^i(t),\dot x^j(t))}dt~.
$$
容易验证：曲线的长度不依赖于其参数化的方式。
正切-余切同构
通常用 $(g,M)$ 表示赋予了黎曼度量的流形。对于任意黎曼流形，我们总可以定义一个丛映射 $\widetilde g:TM\rightarrow T^*M$，对 $p$ 点任意两个切向量 $X,Y$ 满足
\begin{equation}
g(X,Y)=\widetilde g(X)Y~.
\end{equation}
利用黎曼度量的正定性，易见 $\widetilde g$ 是单射，由定义可知这又是满射，所以该丛映射实际上是丛同构。因此，利用黎曼度量，我们可以将切向量对偶到余切向量。下面我们来看对偶后的坐标表示。
由定义可知 $g(\partial_i,\partial_j)_p=g_{ij}(p)(\partial_i\equiv \frac{\partial}{\partial{x^i}} )$，则
\begin{equation}
g(X,Y)_p=g_{ij}(p)X^iY^j=\widetilde g(X)Y^j\partial_j~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\widetilde g(X)=g_{ij}(p)X^idx^j~.
\end{equation}
一般定义相应的余切向量坐标分量为：$X_j=g_{ij}(p)X^i$。
既然 $\widetilde g$ 是丛同构，其逆 $\widetilde g^{-1}:T^*M\rightarrow TM$ 可把余切向量对偶到切向量。同理可得，对于任意余切向量 $\xi$ 有：
\begin{equation}
\widetilde g^{-1}(\xi)=g^{ij}(p) \xi_i\partial_j~,
\end{equation}
其中 $g^{ij}$ 是余切丛上的对偶黎曼度量，即满足 $g_{ij}g^{jk}=\delta^i_k$。然后和前文相仿，定义余切向量的对偶向量形式为：$\xi^j(p)=g^{ij}\xi_i(p)$。
丛映射自然也可以建立切场和余切场的同构，我们以最常见的 1 形式为例，将梯度场定义为 1 形式的对偶。即
\begin{equation}
\operatorname {grad} f\equiv \widetilde g^{-1}(df)~.
\end{equation}
又因为
\begin{equation}
\begin{aligned}
g( \operatorname {grad}f,X)&=\widetilde g\widetilde g^{-1}(df)X\\
&=Xf~,
\end{aligned}
\end{equation}
则
\begin{equation}
df=g( \operatorname {grad}f,\cdot)~,
\end{equation}
余切场 $df$ 作为梯度场的对偶形式可借由上式体现。为表示方便，下面用 $\nabla$ 表示梯度符号。
在确定切丛的基和余切丛的对偶基后，由微分形式的定义可知，$df=\partial_i fdx^i$，代入式 4 后便可得到梯度场关于基形式为：
\begin{equation}
\nabla f=g^{ij}(p)\partial_i f\partial_j~.
\end{equation}
在欧几里得空间则是 $\nabla f=\delta^{ij}(p)\partial_i f\partial_j=\partial_i f\partial_i$。
由此我们可知，流形上的光滑函数可以确定一个光滑余切场（对应的 1 形式），借助黎曼度量可以确定唯一的光滑切向量场——梯度向量场。
习题 1
证明：在弯曲时空中，达朗贝尔算符形式为：
\begin{equation}
\square=g^{\nu \mu} \nabla_{\nu} \nabla_{\mu}=\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\mu}\left(\sqrt{-g} \partial^{\mu}\right)~.
\end{equation}
2. 伪黎曼度量
预备知识 2 伴随映射
相对于黎曼度量，伪黎曼度量把对截面的正定性要求放松至只要满足非退化性即可。伪黎曼度量是一个光滑、对称、非退化的二阶张量场。“非退化” 与线性代数的定义相同，即有下述等价条件：
在同构的欧几里得空间里，伪黎曼度量的矩阵表示是可逆的。
在同构的欧几里得空间里，伪黎曼度量 $g( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$ 对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V$ 成立 $\Longleftrightarrow\, \boldsymbol{\mathbf{x}} =0$
$g$ 可以诱导同构映射 $\sigma_g:V\rightarrow V^*$，满足 $\sigma_g( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \boldsymbol{\mathbf{y}} =g( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$。
例 1 洛伦兹度量
1. ^ 更适合初学者的定义见黎曼联络文章。